Efectos no lineales en la ecuación de Boltzmann

Abstract

En esta tesis estudiamos la ecuación de Boltzmann no lineal. Para ello introducimos una transformación integral de la función distribución en el caso espacial mente homogéneo e isotrópico en velocidad. Esta transformación puede interpretarse como una superposición lineal de estados de equilibrio con temperaturas variables. Mostramos que las características de la evolución temporal de la función distribución quedan determinadas por las singularidades de dicha transformada en temperatura. Aplicamos este método a los modelos de interacción de Maxwell y al modelo de partícula muy dura. Para este último comparamos las soluciones de la ecuación de Boltzmann con aquellas que se obtienen linealizándola, encontrando varias discrepancias básicas debidas a efectos no lineales. Esto nos conduce a la definición de un aproximante racional de la función distribución con un claro significado físico. Con esta técnica analizamos la evolución temporal del modo BKW, encontrando un contraejemplo concluyente a la conjetura de Krook y Wu. Resolvemos la ecuación de Boltzmann anisotrópica para modelos de Maxwell en la forma de un desarrollo en términos de las autofunciones del operador linealizado de colisión, observando interesantes fenómenos transitorios de sobrepoblación y subpoblación a energías de orden térmico, como asi también un nuevo efecto que denominamos de expansión preferencial. Establecemos un criterio para deducir a partir de la condición inicial las características generales del acercamiento final al equilibrio. Finalmente indicamos como generalizar el desarrollo en autofune iones para poder ratar numéricamente condiciones iniciales despobladas a altas energías. Como una aplicación de la teoría desarrollada investigamos la validez de la suposición de linealidad en el modelo de cascadas de colisiones atónicas para el proceso de sputtering. Encontramos que varias de las discrepancias observadas experimental mente respecto de dicho modelo son debidas a efectos no lineales no considerados anteriormente.

We study the nonlinear Boltzmann equation by defining an integral transform of the energy distribution function for an isotropic and homogeneous gas. It provides a solution which may be interpreted as a linear superposition of equilibrium states with variable temperatures. Me show that the temporal evolution features of trie distribution function are determined by the singulari ti es of this integral transform. We analize the relaxation to equilibrium process for Maxwell and Very Hard Particle interaction models. We compare the solution of the Boltzmann equation with the solution of its linearized versión, finding out many basic di serepancies and non linear effeets. This gives us a hint to propose a new rational approximation method with a clear physical meaning. Finally we discuss the relaxation features of the BKW mode, finding a conclusive counterexampie for the Krook and Wu conjecture. Furthermore we solve the anisotropic Boltzmann equation for Maxwell models. The solution is qiven by an expansión in terms of the eigenfunctions of the corresponding linearized collision operator. We find transient overpopulation and underpopulation effeets at thermal energies and a new 'preferential spreadinq' effect. We analize the features of the final approach to equilibrium and its dependence on the initial condition. We show how to improve tne convergence of the eigenfunction expansión for initially high energy underpopulated distribution functions. As an aplication of tnese results we analize the linear cascade model for sputtering, finding out that many important differences between the results of this model and experimental data are due to non-linear effeets.