Dinámica y conversión de energía en sistemas cuánticos forzados lentamente

Abstract

En esta tesis analizamos fenómenos de transporte a lo largo de dispositivos electrónicos pequeños en el régimen cuántico. Más específicamente, estudiamos sistemas cuánticos de pocos niveles desplazados del equilibrio por el efecto de fuerzas dependientes del tiempo y acoplados a uno o más reservorios macroscópicos mantenidos a diferentes temperaturas y posiblemente a diferentes potenciales químicos. El campo de estudio de este tipo de sistemas a veces se denomina “termodinámica cuántica” [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. El objetivo de este capítulo es proporcionar un breve mapa conceptual del contexto en el que se desarrolla este trabajo. Se presentan consideraciones generales sobre efectos de bombeo, máquinas térmicas cuánticas y su relación con conceptos geométricos. La termodinámica en sistemas cuánticos en la nanoescala ha sido un tema de investigación de rápido crecimiento en los últimos años, surgiendo en la intersección de la mecánica estadística, la nanociencia, la información cuántica, así como la física atómica y molecular. Un objetivo paradigmático en este campo es concebir y realizar máquinas térmicas en el dominio cuántico que, al igual que los ciclos termodinámicos clásicos, transformen calor en trabajo útil o utilicen trabajo para refrigerar [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. El desarrollo de máquinas térmicas eficientes que operen en el régimen cuántico es, a su vez, de gran relevancia para las tecnologías cuánticas. Numerosas propuestas teóricas [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32] han estimulado esfuerzos en diversas plataforma experimentales [33, 34, 35], incluyendo dispositivos de estado sólido [36, 37, 38, 39] y sistemas nanomecánicos [40, 41, 42, 43, 44], así como también en experimentos de átomos fríos y trampas de iones [45, 46, 47, 48, 49]. En este trabajo consideraremos una clase particular de máquinas térmicas: aquellas para las cuales los parámetros externos que controlan el estado microscópico de la sustancia de trabajo cambian lentamente en el tiempo. Como consecuencia, el estado interno del sistema será muy parecido al estado de equilibrio térmico. Esta condición resulta de gran utilidad para evaluar la dinámica de la energía y nos proporciona una interesante estructura geométrica de la que sacar provecho. A partir de los trabajos seminales de Aharonov y Bohm [50], así como de Berry [51], los efectos geométricos han atravesado muchas áreas de la física. En el transporte cuántico, distintas contribuciones de origen geométrico afectan las corrientes de carga y energía. Para una configuración típica que consta de un sistema cuántico central acoplado a reservorios macroscópicos, se demostró que la carga bombeada en un sistema accionado periódicamente tiene un origen geométrico [52, 53, 54, 55, 56, 57], similar a la fase de Berry [51]. Este efecto de transporte se puede expresar en términos de una integral de línea cerrada en el espacio de parámetro forzantes y es independiente de la presencia de una diferencia de potencial externo. Un enfoque similar se adoptó para analizar el transporte de calor en un sistema paramétrico de dos niveles débilmente acoplado a baños bosónicos [58]. La descripción geométrica de las fuerzas inducidas por parámetros externos [59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67] está estrechamente relacionada con estas ideas, incluyendo el magnetismo geométrico [68, 69] con la extensión de las funciones de respuesta geométrica a sistemas abiertos y discutiéndose en relación con el bombeo de pares de Cooper [70]. Los efectos disipativos son una característica fundamental de los procesos termodinámicos de tiempo finito. Hace algunas décadas se desarrolló un enfoque interesante que vincula la disipación con la geometría para sistemas macroscópicos forzados lentamente [71, 72, 73, 74,75]. Más recientemente, estas ideas se generalizaron al caso cuántico [76, 77, 78, 79], y en particular para sistemas acoplados a baños macroscópicos cerca del equilibrio [69, 80, 81] usando la teoría de respuesta lineal. Conceptos geométricos como la métrica termodinámica y la longitud termodinámica fueron introducidos recientemente como herramientas prometedoras para caracterizar la energía disipada y diseñar protocolos óptimos [miller2019dic, 82, 83, 84, 81, 86]. Este vasto volumen de investigación que vincula la geometría con el transporte sugiere naturalmente conexiones similares para las máquinas térmicas. En primer lugar, las máquinas térmicas requieren de variaciones periódicas de parámetros de control, por lo que es esperable que los efectos geométricos (en el sentido de Berry) desempeñen un papel importante. Por otro lado, la eficiencia con la que operan estos sistemas se reduce a causa de la disipación. En este caso, la geometría entra en la física a través de un concepto diferente: la longitud termodinámica. En los Capítulos 5 y 6, bajo suposiciones bastante generales, mostraremos que el funcionamiento de las máquinas térmicas cuánticas y la conversión subyacente de calor en trabajo está fundamentalmente ligado a tales efectos geométricos. Los mecanismos de conversión y disipación pueden ser respectivamente descriptos por diferentes componentes de un solo tensor geométrico térmico. Como se dijo anteriormente, la componente de conversión calor-trabajo se puede expresar en términos de una fase de tipo Berry, que tiene una curvatura de tipo Berry asociada [51] (ideas similares se pueden encontrar en Refs. [87, 88]). Además, es sabido que la disipación y la producción de entropía admiten una descripción geométrica en términos del concepto de longitud termodinámica [71, 72, 73, 74, 75, 89, 90, 91, 69, 92]. Este enfoque geométrico ha demostrado ser útil para optimizar procesos termodinámicos de tiempo finito (se pueden encontrar ejemplos en [83, 93, 94, 95] para sistemas clásicos y [96, 81, 97] para sistemas cuánticos), incluyendo el ciclo de Carnot de tiempo finito [86, 97] y motores forzados lentamente [98, 99, 100, 101, 102]. Sin embargo, estos ciclos se caracterizan por tener la sustancia de trabajo acoplada a un solo reservorio, o completamente desacoplada de los reservorios. En este trabajo generalizaremos esta definición de longitud y área en el espacio de parámetros para incluir máquinas que se mantienen acopladas a los reservorios a lo largo de todo el ciclo. Además, veremos que estos conceptos geométricos son muy útiles para buscar parametrizaciones óptimas. Un caso importante que abordamos en este trabajo es el circuito RC cuántico de la Sección 2.4, el cual está acoplado a un solo reservorio fermiónico. Tratada como una máquina adiabática, el efecto del forzado dependiente del tiempo se traduce en una acumulación de carga neta en el capacitor. En analogía con el efecto de bombeo, este último tiene una naturaleza geométrica. Además, la dinámica de la energía es totalmente disipativa y se puede caracterizar mediante el mismo concepto de longitud termodinámica. En el Capítulo 2 resumiremos y motivaremos los sistemas físicos específicos en los que aplicaremos los conceptos generales a desarrollar a lo largo de la tesis. Se trata esencialmente de bits cuánticos y puntos cuánticos, considerados en diferentes regímenes. El capítulo 3 está dedicado a la discusión de las herramientas y métodos teóricos que utilizamos para obtener los resultados de los modelos. Revisamos la formulación de la dinámica adiabática propuesta por Ref. [80], similar a la fórmula de Kubo, en este caso realizando una expansión en la velocidad de los parámetros forzantes. Incluimos una introducción general de ecuaciones maestras cuánticas aplicadas a sistemas débilmente acoplados como se desarrolla en Ref. [103]. También revisamos el método de funciones de Green de muchos cuerpos (en equilibrio) y la técnica de grupo de renormalización numérica (NRG) para el modelo de impurezas de Anderson. En el Capítulo 4 consideramos un punto cuántico forzado lentamente con interacción local de Coulomb, acoplado a un solo reservorio fermiónico a T = 0. Calculamos la dinámica adiabática de carga, el espín y la energía, considerando el sistema como una realización generalizada de un capacitor cuántico. Mostramos que la acumulación de carga fuera de equilibrio tiene una naturaleza geométrica y que la disipación tiene la forma de una ley de Joule instantánea. Esto último conduce a relaciones generalizadas de fluctuación-disipación. En el Capítulo 5 aplicamos los resultados de la dinámica adiabática para una clase particular (pero amplia) de Hamiltonianos. Aprovechamos la estructura matemática emergente de este enfoque para desarrollar un marco teórico general, útil para caracterizar las máquinas térmicas cuánticas en el régimen de forzado lento. Definimos el llamado tensor geométrico térmico y derivamos expresiones para caracterizar las cualidades importantes de los motores térmicos y refrigeradores (por ejemplo, conversión de calor en trabajo, disipación eficiencias) en términos de este tensor. También ejemplificamos los conceptos desarrollados a través de un ejemplo explícito: un punto cuántico forzado conectado a dos reservorios fermiónicos. En el Capítulo 6 retomamos algunos de los resultados obtenidos en el Capítulo 5 para abordar el problema de encontrar protocolos óptimos para una máquina térmica dada. La potencia de un motor térmico y la eficiencia de los modos operativos de motor y refrigerador se reducen a un problema isoperimétrico con métricas y curvaturas subyacentes no triviales. Ilustramos el procedimiento en un bit cuántico acoplado a dos reservorios, nuevamente operando como una máquina térmica mediante un protocolo adiabático. Finalmente, en el Capítulo 7 resumimos los resultados de la presente tesis y damos una perspectiva futura sobre cómo podría continuarse este trabajo.