C . N. E .A . B i b l i o t e c a Akchiv'o rUEÜOACICNES -834 0 0 . 8 2 , .N° 809AÑO 2i . A i 2 , ANALISIS DE LAS TOLERANCIAS UTILIZANDO TECNICAS DE MPNTE CARLO losé Luis ROCA I .3 ú ^ ^ & r O O I gnacio MAYANS Comisión Nacional Je Energía Atcmic.i Gerencia de Desarrollo Depto. Instrumentación y Control INTRODUCCION: El análisis de las tolerancias en redes de varie-i cc«por.en- tes durante la faz de proyecto se presenta a veces can cs*2?I-2jj trie es la mayoría de las ocasiones es dejada de lado. Ello es >sr activas ri­ les como: Cada componente lleva asociada una Función de áist'ri'biucirb ¿e prob-i— bilidad distinca. El conjunto presenta un comportamiento difícil ie ?re-recir, como re­ sultado del punto anterior. La presentación gráfica del problena que mostraría zlarHzenre la si­ tuación del sistema bajo estudio es de realización -arr la~>.CTÍJ?s3. Mediante la utilización de técnicas de cagrp’jcaci.ón es t o s í - ble reducir al mínimo estos inconvenientes. El problema clásico surge cuando se pretende producir "n" unidades de un determinado sistena electrónico y se dese3 que, fijadas las tolerancias de los componentes, La performance fe zoda la producción este concentrada alrededor de un punto óptimo adecuado.' En muchas ocasiones, la distribución de valo te s dentro de las tolerancias dadas determinan en el conjunto total la presencia.de dos puntos óptimos en lugar de uno, con la consiguiente indeterminación en la producción, una parte de la cual tendrá una perí orrarrce coonsleta- mente distinta de la otra. En el presente análisis se han utilizado programas del sis.-, tena de Cómputos I.B.M. - 360, propuestos por K.J. DIESTLEK, de la Uni­ versidad de KENTL'CKY (Depto. de Ing. Eléctrica), todos en Fortran IV (1> . Asimismo, se ha utilizado el sistema de Cómputos del Centro de Cómpu­ tos de la Comisión Nacional de Energía Atómica. METODO DE MONTE CARLO: Históricamente el método se denominó "Randora Walks” (caminos al azar) y cobró extraordinaria tuerza durante la segunda guerra mundial. Von NEUMANN y ULAM fueron quienes le dieron el nombre que lleva actual_ mentí. La base de esta nueva forma de encarar la resolución de pro blemas es la siguiente: Sea una función de n variables: y - f ( x l t x 2 , X3,... ■*n> I I I 810 /// En esta función "y" será variable dependiente y (i * 1, 2,.... n) variables independientes. Si las variables "x^" son conocidas, también será conocido el valor de "y"- E-n este caso se estará en presencia de un problema determinístico donde, fijados los valores de las variables independien tes, queda fijo el valor de la variable dependiente. Cuando x¿ (i • 1, 2,.... n) son desconocidas, se está ante un problema estadístico y estas variables se denominan estocásticas. Lo único que es conocido es la probabilidad de que ellas to­ men sus diferentes valores. Entonces "y" no será una variable fija (con un sólo valor) y podrá tener varios posibles valores. Siguiendo a L.M. FLANDERS Jr. , el método de Monte Cario pe_r aite determinar la probabilidad de que la variable *y" adopte sus dis­ tintos valores (2). Esto es posible realizarlo haciendo que la variable -'‘s'* o las variables "x^" tonen valores al azar, de acuerdo a usía áeteraiTiida distribución de frecuencias de la variable dependiente “y”, para luego? analizar el resultado. Es esencialmente una "simulación; con condiciones de frontera prescriptivas" (3) Como punto de partida es entonces necesario disponer de un generador de números aleatorios (Fig- 1.). Este generará calores de la variable "x¿" de acuerdo a una distribución prefijada. Existen varios métodos para generar estos ufaneros denomina­ dos, en general, "pseudoaleatorios” (4) La más importante de estas técnicas es la llamada "de las congruencias’̂ *- Su base es la siguiente relación recurriente:: (I) x¿ = - a + c (mód. as) Siendo: x¿= núsero pseudoaleatoric a .c »x¿-l= enteros entre 0 y e - 1 m= cantidad que prefija el periodo tíe recurrencia La operación: (II) h= c (mód.m) Implica que h y c son congruentes de módulo m. Esto ocurre cuando h y c dan el mismo resto al ser divididos por m. Por ejemplo: 5590 = 6 (mód. 8) Pues: 5590 - 6 = 5584 y 5584 / 8 = 698 (resto = 0) La referencia (4) aclara todo lo enunciado precedentemente. Este método provee números pseudoaleatorios de ditribución uniforme con límites prefijados (Fig. 2a y 2b). s^Una subrutina Fortran del sistema I.B.M. 360, la "RANDU", provee de un generador de números pseudoaleatorios de distribuciórr uni­ forme de límites cero y uno (Fig. 3) en base al método citado subrutina «i»r al ijnmrada por un número entero cual^ 811 /// quiera al azar, impar de no más de 9 dígitos "IX". "IY" es el número aclaratorio requerido para la próxima entrada o llamada de la subrutina; "YFL" es el numero aleatorio entre cero y uno con distribución unifo_r me. I Transformación inversa: Para generar una distribución cualquiera entre límites prefija dos se puede partir de la distribución uniforme vista anteriormente uti lizando el método de "Transforrr.jción Inversa". Si f(x) es la función densidad de probabilidad y F(x) es la función de distribución acumulativa (Fig.4). Entonces a'rtciendo: (III) F(x) = r y luego: (IV) x = F_í(r) se a&tiene la transfonaación inversa de F(x) tal que si "r” eslá -jmifoir memtETire distribuido entre cero y uno, "x" estará distrinicie de acuerdo a la rn¡rm acumulativa. . Supóngase cue se requiere obtener números ur.ifo~é~=i.Te distri buido-s entre los líiiites'"a" y "b" (Fig.2a y 2b). 7(x) ser£: F(x> = ^x—O v 0 < F(x) < 1 iplícanco la (III) y la (IV) se tiene: i-a r ~ x-b T x = a + (b-a) . r con _ 0 < t < 1 A rsodo de segundo ejemplo supóngase ahora que se necesit.3 dis poner de valores de variable pseudoaleatorios con distribución exponen­ cial (Fig.5). F(x) será: F(x) = exp. (- A . x) Aplicando la (III) y la (IV) nuevamente: r = exp. (- X • x) -1 ln con 0 < r < 1 MoAiante - o r & s c i ó n inversa^, el Conjunto de Subrutinas Cieri tíficas I.B.M. 360 provee una subrutina, la '^GAUSS" (Fig.6). En ésta "IX", al igual que la "RANDU", es un número impar de menos de 9 dígitos. "S" es la desviación standard; "AM" es el valor medio o nominal y "V"es 812 I I I el valor de la variable de distribución gaussiana. Cualquier otra distribución puede simularse de igual forma. A título ilustrativo en la Fig.7 se dan las subrutinas "GAMMA”,-"WTIBULL1 "EXP" y "UNIFORM"., Análisis preliminar: En todo componente viene especificado la tolerancia T% en pc£ ciento generalmente junto cor. el valor nominal de la característica del componente X. Esta característica tiene un valor mínimo X y un valor máximo X de acuerdo a: (V) X = X (1 + T) T I"* X = X (1 - T) con T = 1ÓÓ El valor real del, conponente fluctuara entonces entre X v X: (VI) X < x .< X Es posible colocar "x" como función del valor noEinal ”X", la tolerancia ”T", y un parámetro "r" tal que 0 á r 1 con distribución uniforme. Esto es posible a partir del conocimiento de la F{x) acumrul¿ tiva Fíg.8: wF( x>, = -X- ---- = '-x- -- rX ”(1- --- -T-) x - x 2-1-x Aplicando la (III) y la (IV), se tiene: x = X ( I - T ) + 2 . T . r Cora G í r <: 1 Ahora bien, si la distribución no es uniforre, se utilizará otra subrutina, la "GAUSS" por ejemplo o cualquiera de las de la Fig. 7 se adapte mejor a la realidad del problema. En este punto debe tenerse en cuenta la relación existente en tre tolerancia del componente y la desviación standard correspondiente. En general son tres clases (Fig.9) en que se pueden clasificar los disp£ sitivos. Para cada una de estas clases los límites a tener en cuenta en lo que respecta a tolerancias son variables de acuerdo a la situación del componente en el mercado y del proceso de "Quality Assurance" segui^ do. (5). Esto es muy importante sobre todo cuando existe gran cantidad de componentes involucrados en el sistema a analizar. El conjunto varia^ rá notablemente su perfomance de acuerdo a ello. Representación gráfica: Para representar gráficamente el problema y sus soluciones se ha optado por ."plottear" un histograma de 10 columnas iguales, llenando 813 I I I con asteriscos cada una de ellas hasta una altura proporcional a la orde nada del gráfico de distribución. Para seleccionar ur. número cualquiera en una de las diez cate gorías correspondientes a cada columna, se utilizó la subrutina Fortran "SORT" (Fig.10). En la misma: Z = es el número ha ser clasificado. M = es el vector de 10 columnas ha ser cargado. AMIN, AMAX = son les valeres extremos de la variable Z. Cargado el vector >1(10) con sus valores respectivos, la subru tina Fortran "HIST" (Fig.ll) se encarga de dibujar el histograna. En ella: YAa = es la nSxima altura del histograma. Si no se cor..1-:* (MAX = 0) la risnia subrutina se encarga de encontrar -el E á x ia o del vector M. S = es el vector de 10 columnas cargado ha ser pleiteado. coordenadas de la base del histograna sen escritas de acuer do al !fúrr3i¡íC® 103. El atisno cebe ser cambiado según los valores a plot_ tear. El cGmere sebre las col'jznas indica la cantidad de ele-mentos que caer, dentro áe esa colina. Ejemplos ¡&e aplicación: Ejemplo I: Sa?iSc£ase q\ie se deben fabricar 1000 divisores resistivos del tipo de La Ftg.12. La característica de un divisor resistivo es su traías ferenciJi: SATIO = *4(h 2 + Rj) Si se asumen distribuciones uniformes para Rj y R2 , el cómputo de la distribución de valores de '’RATIO" puede realizarse a través del programa principal de la Fig.ll. Este es alimentado con valores de Rj> , R2 , , Ty de acuerdo a los formatos 222, 223, 224, 225, 226, 333 y 444. Los nistogramas correspondientes para Rj = 10 K y R2 = 6 K8 con distintas tolerancias y considerando distribuciones uniformes para ambos resistores pueden observarse er. las Figs. 13 y 14. Ejemplo 2: Sea una red RC (filtro pasa bajo) (Fig.15). El cómputo de la distribución de la constante de tiempo T = RC del circuito para 500 unî dades, puede realizarse asumiendo distribución uniforme para R y distri bución gaussiana para C. mediante el programa principal de la Fig.16. Para R * 500 K y C « . 01 uF con tolerancia 10%. Los resultados pueden observarse en las Figs. 17, 18 y 19.- 814 I I I En la Fig.17 se han considerado capacitores de alca calidad (clase 1), en la Fig.18 Clase 2 y en la Fig.19 Clase 3. Observese la dî ferencia en las distribuciones- para iguales límites de constantes de tiempo. Ejemplo 3: Sea un amplificador inversor implementado cor. un cperacional 741 (Fig.20) donde la amplificación Yo/Vi viene dada por la siguiente expre­ sión : R. As = 3 i R,■- * + R.1 ) - A (R 4 RJj (R3 + R5)(R4 + Rx) + R2 (R3 + R5 + R; + R^) + A R_ Con los valores máximos de los parámetros del operacicr.ai y su poniendo las siguientes distribuciones: R,a ; distribución uniforme: 0,3 Mí: < R,4 < 1 Y." A ; distribución uniforme-; 50.000 < A < 20C. -30® R^;.distribución normal; m = 75 C; v = 10 T. R.; 1 K; 10Z; v = 10%; y = 0; g = 2; n = 296,436S2 ~ R-,; idem R^* R3; 100 K; 10Z; v = 10Z; 7 = 0; 6 = 3 ; ~ = 103.©32,78 r. Se tiene el hístograma de la Fig.22 coco resaltado de la apli­ cación del método de Monte Cario a la implenentación de 2.OO0 rircuitos de las características dadas mediante programa principal ás. Fis¡.J3 . CONCLUSION: En el presente trabajo se ha propuesto un néto-tíc" eficiente para analizar la influencia de las tolerancias y de la distribución di? -val'®— res dentro de ellas, en sistemas electrónicos mas o senos cccpleji's. Los ejemplos son fácil muestra de 'la potencialidad de esta técnica. Su extensión a sistemas de más componentes es casi inmediata. 815 /// Referencias: (1) System/360 Scientific Subr:>utine Package-Version III - Prograrr_~e r' s Manual. GH-30-0205-4. (Z) "Statistical Processes ar. i Reliability Engineerinc" - Ciicrafas Dim_- cris - Princeton N.J. - D. Van Nostrand 1960. (3) "El arte de la simulación" - Tocher K.D. - Princecon N.J. - D. Var. Nostrand 1963. (¿) "Técnicas de simulación er. computadoras” - Tnomas Taylor, Joseph Salintfy, Donald Burdick and Kong Chu - Ed. Lir;usa - Wiley S.A. Mé­ xico. ■ (.i) ”?robabilistic Reliability - An Engineerir.g Approach" - M.L. S ho­ cican - Me Craw Hill Inc. 1968 N.Y. entre tolerancia v desviación scan- a:\i: CUtSE TIPO DE COMPONENTE ITLACION L Componentes cilitareé. de alta calidad u = N , 3v = T . N -> Situación ir.teraedia 3 Componentes comerciales - = ■«, v = T.N N = v:í3c>r nc'Tiinal ¡_ = Tilcrir medio t - ¿ísriación standard "TT = ctrlerasic ia 0 / 1 0 0 Fig. 9 t- ii > ii 816 tr> st c* iZ 0 A1 »-i C. X I M h X CNJ11 ♦ Xt »T1 " P II t iK ¡x Tf U ? x x U * r ) 817 > o a |o o 0 o o : 6 d o o ' i o u ocoooooopociiioqot ■4 ■ 4» i^1 !»"*■■» MrgO#r\ir Îr\,r\jD'O»^ma —r* "t pn ii rr*n' n̂- ri J ' j o a o o ó o o j o o q o o o u JOUOUOOO j c d o o q o o j O Q O O g u u J U U C O O ü O ir c *.< ?OJ 3. Q»-Nu Jü/)*— - V>^< e x ¡*-o t/jCf -HVÍ»Ĥ' i xK í-̂aV./»L-U' Xt XU LD • W¡G-ÜVJJ X<1lj *+<0»$- U U vth ->x>• lh/*€jc-juJ a.-*>xi «■* W x l a j p XÍUJ JL On»*-̂ t — U» | Ônu.ÉUuL̂ CJ -¡KOCJ jr 4. a jk r -» -u i¿ . uj l X é̂Tv»—j*Jk/)uj UL — — Vj)fT ^ u í x « | -— _jr— ̂ r—«cE uO-UuJNh--vX. 1 1 .0 ■< •vi'-» 3 uu"urO*. -z4r *ti U j^ 9 CID 4 7 i< — a. :*• i I. ¡, ■g .-*< i _J . »I u c-̂jcOjL^-u - j ou-«t< ¿JJ4 £ ̂0/>U-UCt a«u '''v< j h* t t u o — j-* > -oof. ̂on \3~ (IOO Jr»OnQOOC. «Mi JOO*jr-®C »‘OO-O* 5 0 0 0 0 0 0 0 > 0 n c 0 < i c X ) J C W f H W roopo!|F1 J-fcT'.O*»- ac «O** o^o^vi-r*' <Í >K0J0O «^«NJ JOUÜUOOCC >1O O j o o o ^ O o o 3OUOONPJWOyUVo030 ; o o o o c I 0 0 3 Ü O C U O Ü Ü ?ü o o o 6o ü J ü O O O ^ O O 0 9 0 0 ___ vbkjr « <■< « < * <■? «e <«<«^«<(3ÜIN5I V->0|C>0(í0< : Ok 13 kx¿i: J' < *&u Ja t o h>2 ckxjjc . z X •—4 -1/1 *- JO 1/1 «/> a. *—<♦'xa 0.0 X•> O.□C >>Uciil i: *—-uatcuj « o 4>o— %IrA\ w u »—l/l •—L >-C-S LUI» o WJXtw: 1 -U *»• VI í— UJ*0-.1 £ulh» I Ui< O 0<0 Ü C“X t f i V3* I/) 11 a < u u a x j ü u v h j u1AAJ ÜUljlW 819 820 Fig. 8 Í?A TIO - r,§. i3 821 OOÜtOOOQOOCOOCiOü'J r̂* QO oOüUoOüC CuUuOoUüHcMu or—u c-4o-4^o4^—r4 g c u o c o o c o o o y o o o u o c rXr1c4't. I' *X: t > IcX* rt . et Ar a ? a jt ^ c ^, ^ U - t Jc c c l I * e> uL i/» Q*0 •* I ! «a. í ^♦ íI 3liti ¿ 2— 3C• «A -i* ZO>— « — -fvo >-♦* — a.-» —e x .«—« -x «->.*3- 0* —o• ‘ - 0— 30-J * J-j.— * *i ̂ _? *• í o r *1 o 822 : i J SÍ 1. . ' i v VV!/1 /*i* V T U O S . ui-ü»Ooí 'c<■■V*; >J'jJoC ̂SoOuOuOb^ CoyuovCrX'KOioOvOd V t:r t x tÍx t i r í í í r x x ¿ r r z r ixx:r x : : i x r r « i r í K IV; U U C«Li I m x — « t J J A IV A » I «i o— j-r «.'T» wN. C # — *•— •|• VU •“ «. | —«a> I '-HA'X ~ x- —• •*< •ru'j*- *«► —* <*«* «• <*>• —w**OW- V«>«Ü*» «OM OOc X.-*̂* <»l •-r«-ü» CX.K'XlKt-K i- • • r * *•— i o í i r * • k -*i ► —w«_v K < * >r *» * u * c /now ■«■i •) *>2 »- r « « > « fc-K » U w V - a c* X. <1 M X -*-• p-hH J " - >- h - h K ^ * - h t - N * K j l i X l k . 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